Primitívna funkcia a neurčitý integrál
Funkcia F je primitívna k funkcii f na intervale, ak F′(x) = f(x). Množinu všetkých primitívnych funkcií značíme ∫ f(x) dx = F(x) + C a voláme ju neurčitý integrál.
Integrovanie je teda opačná operácia k derivovaniu. Keďže derivácia konštanty je nula, primitívnych funkcií je nekonečne veľa — líšia sa o integračnú konštantu C ∈ ℝ.
Neurčitý integrál
∫ f(x) dx = F(x) + C, kde F′ = f. Výsledkom je množina funkcií, nie číslo.
Skúška deriváciou
Výsledok overíš spätne: zderivuj F + C a musíš dostať f. Napr. (x³/3)′ = x².
Konštanta
Nezabudni na + C! Bez nej zachytíš len jednu primitívnu funkciu z nekonečne mnohých.
Základné vzorce
| Integrál | Výsledok | Podmienka |
|---|---|---|
| ∫ xⁿ dx | xⁿ⁺¹ / (n+1) + C | n ≠ −1 |
| ∫ 1/x dx | ln|x| + C | x ≠ 0 |
| ∫ eˣ dx | eˣ + C | — |
| ∫ cos x dx | sin x + C | — |
| ∫ sin x dx | −cos x + C | — |
Integrál je lineárny: ∫ (a·f + b·g) dx = a∫f dx + b∫g dx. Konštantu vyberieš pred integrál a súčet integruješ po členoch.
Klikni a over si primitívnu funkciu.
Vyber správnu odpoveď.
Metódy integrovania
Tabuľkové vzorce nestačia vždy. Dve hlavné techniky — per partes a substitúcia — vznikajú obrátením pravidiel pre deriváciu súčinu a zloženej funkcie.
Per partes (po častiach)
∫ u·v′ dx = u·v − ∫ u′·v dx
Z derivácie súčinu (uv)′ = u′v + uv′. Vhodné na x·eˣ, x·sin x, ln x.
Substitúcia
∫ f(g(x))·g′(x) dx = ∫ f(u) du, kde u = g(x), du = g′(x) dx. Vhodné, keď vidíš funkciu aj jej deriváciu.
Za u volíme to, čo sa derivovaním zjednoduší (napr. x → 1, alebo ln x → 1/x); za v′ to, čo vieme ľahko integrovať.
Volíme u = x, v′ = eˣ. Klikaj.
V ∫ 2x·(x²+1)³ dx zvoľ u = x²+1, potom du = 2x dx, takže integrál je ∫ u³ du = u⁴/4 + C = (x²+1)⁴/4 + C.
Vyber správnu odpoveď.
Určitý (Riemannov) integrál
Určitý integrál ∫ₐᵇ f(x) dx je číslo. Definujeme ho ako limitu integrálnych (Riemannových) súčtov — interval [a, b] rozdelíme na malé časti a sčítame plochy úzkych obdĺžnikov.
Riemannov súčet
∫ₐᵇ f dx = lim Σᵢ f(ξᵢ)·Δxᵢ pri zjemňovaní delenia (norma delenia → 0). Funkcia je integrovateľná, ak limita existuje a nezávisí od výberu bodov.
Geometrický význam
Pre f(x) ≥ 0 je ∫ₐᵇ f dx rovné obsahu útvaru pod grafom medzi a a b. Tam, kde je f < 0, sa plocha počíta so znamienkom mínus.
Obdĺžniky aproximujú plochu pod grafom; pri zjemňovaní delenia → presný integrál.
Linearita: ∫ₐᵇ (αf + βg) = α∫ₐᵇ f + β∫ₐᵇ g. Aditivita podľa intervalu: ∫ₐᵇ f = ∫ₐᶜ f + ∫꜀ᵇ f. Otočenie medzí: ∫ₐᵇ f = −∫ᵦᵃ f a ∫ₐᵃ f = 0.
Vyber správnu odpoveď.
Newtonova–Leibnizova veta
Most medzi neurčitým a určitým integrálom. Ak F je ľubovoľná primitívna funkcia k spojitej f na [a, b], potom ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a).
Vďaka tomu nemusíme počítať limity Riemannových súčtov — stačí nájsť primitívnu funkciu a dosadiť hranice. Rozdiel F(b) − F(a) zapisujeme aj ako [F(x)]ₐᵇ.
Postup výpočtu
1. nájdi primitívnu F (bez + C — vyruší sa), 2. dosaď hornú medzu, 3. odčítaj dolnú: F(b) − F(a).
Prečo + C nevadí
(F(b)+C) − (F(a)+C) = F(b) − F(a). Konštanta sa pri odčítaní vždy vyruší, preto ju pri určitom integrále vynechávame.
Primitívna k sin x je −cos x. Klikaj.
∫₀¹ x² dx = [x³/3]₀¹ = 1³/3 − 0³/3 = 1/3. Plocha pod parabolou nad [0, 1] je teda 1/3.
Vyber správnu odpoveď.
Aplikácie určitého integrálu
Určitý integrál premieňa „nekonečne mnoho nekonečne malých kúskov" na konkrétne číslo — obsah rovinného útvaru, plochu medzi krivkami či objem telesa.
Obsah pod krivkou
Pre f(x) ≥ 0 na [a, b]: S = ∫ₐᵇ f(x) dx.
Plocha medzi krivkami
Ak f ≥ g na [a, b]: S = ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx (horná mínus dolná).
Objem rotačného telesa
Rotáciou grafu okolo osi x: V = π ∫ₐᵇ f(x)² dx.
Rez kolmý na os x je kruh s polomerom f(x), jeho obsah je π·f(x)². Sčítaním (integrovaním) týchto kruhových rezov pozdĺž [a, b] dostaneš objem V = π ∫ₐᵇ f(x)² dx.
Klikni a over si vzorec či výsledok.
Vyber správnu odpoveď.
Záverečný kvíz
Desať otázok cez celý integrálny počet — od primitívnej funkcie cez metódy a Riemannov integrál až po Newtonovu–Leibnizovu vetu a aplikácie.
Otestuj sa cez celú tému.