Vektorový priestor
Vektorový priestor V nad ℝ je množina vektorov s dvomi operáciami: sčítaním vektorov u + v a násobením skalárom c · v, ktoré spĺňajú niekoľko axióm.
Sčítanie je komutatívne a asociatívne, existuje nulový vektor 0 aj opačný vektor −v. Násobenie skalárom je distributívne voči obom sčítaniam, asociatívne (a(bv) = (ab)v) a platí 1 · v = v.
Sčítanie vektorov
Komutatívne, asociatívne. Nulový vektor 0 a opačný −v ležia vo V.
Násobenie skalárom
Distributívne: c(u+v) = cu + cv a (a+b)v = av + bv. Platí 1·v = v.
Príklad ℝⁿ
Usporiadané n-tice reálnych čísel: ℝ², ℝ³, … Sčítanie a skalár po zložkách.
Najdôležitejší príklad je ℝⁿ — všetky usporiadané n-tice (x₁, …, xₙ). Ďalšími príkladmi sú priestor polynómov, priestor matíc m × n alebo priestor funkcií.
Neprázdna podmnožina U ⊆ V je podpriestor, ak je uzavretá na obe operácie: pre každé u, v ∈ U a skalár c platí u + v ∈ U aj c · u ∈ U. Každý podpriestor obsahuje nulový vektor.
Vyber správnu odpoveď.
Lineárna kombinácia a lineárny obal
Lineárna kombinácia vektorov v₁, …, vₖ je výraz c₁v₁ + c₂v₂ + … + cₖvₖ, kde c₁, …, cₖ sú skaláry.
Lineárna kombinácia
c₁v₁ + … + cₖvₖ — „namiešame" vektory s ľubovoľnými skalárnymi koeficientmi.
Lineárny obal (span)
span(v₁, …, vₖ) = množina všetkých lineárnych kombinácií týchto vektorov. Vždy je to podpriestor.
Ak span(v₁, …, vₖ) = V, hovoríme, že vektory v₁, …, vₖ sú generujúca množina priestoru V — každý vektor z V sa dá zapísať ako ich lineárna kombinácia.
Napríklad span((1,0), (0,1)) = ℝ², lebo každé (x,y) = x·(1,0) + y·(0,1). Naopak span((1,2)) je len priamka cez počiatok v smere (1,2).
Span jedného nenulového vektora je priamka cez počiatok. Span dvoch nezávislých vektorov v ℝ³ je rovina cez počiatok.
Vyber správnu odpoveď.
Lineárna nezávislosť
Vektory v₁, …, vₖ sú lineárne nezávislé práve vtedy, keď jediná ich nulová kombinácia je triviálna: c₁v₁ + … + cₖvₖ = 0 vynúti c₁ = … = cₖ = 0.
Ak existuje aj netriviálna nulová kombinácia (aspoň jeden cᵢ ≠ 0), vektory sú lineárne závislé — jeden z nich sa dá vyjadriť pomocou ostatných.
Ako overiť
Polož c₁v₁ + … + cₖvₖ = 0 a vyrieš sústavu pre c₁, …, cₖ. Len triviálne riešenie ⟹ nezávislé.
Rýchly test
Dva vektory sú závislé práve vtedy, keď je jeden násobkom druhého. Akákoľvek množina obsahujúca 0 je závislá.
Vektory (1,2) a (2,4) sú závislé, lebo (2,4) = 2·(1,2). Naopak (1,0) a (1,1) sú nezávislé — žiaden nie je násobkom druhého.
Klikni a over si odpoveď.
Vyber správnu odpoveď.
Báza a dimenzia
Báza priestoru V je množina vektorov, ktorá je súčasne lineárne nezávislá aj generujúca. Je to najmenšia generujúca množina aj najväčšia nezávislá množina.
Dimenzia dim V je počet vektorov v ľubovoľnej báze — toto číslo je pre daný priestor jednoznačné. Platí dim ℝⁿ = n, teda dim ℝ² = 2 a dim ℝ³ = 3.
Štandardná báza ℝ²
(1,0) a (0,1) — nezávislé a generujúce, preto dim ℝ² = 2.
Súradnice
Vzhľadom na bázu B = (b₁, …, bₙ) má vektor jednoznačné súradnice v = c₁b₁ + … + cₙbₙ.
Výmenná veta
Každú nezávislú množinu možno doplniť na bázu; každá generujúca množina obsahuje bázu. Všetky bázy majú rovnaký počet prvkov.
Ak je {u₁, …, uₘ} lineárne nezávislá a {w₁, …, wₙ} generuje V, potom m ≤ n. Dôsledok: každé dve bázy majú rovnaký počet prvkov — preto je dimenzia dobre definovaná.
Overíme nezávislosť dvoch vektorov. Klikaj.
Vyber správnu odpoveď.
Lineárne zobrazenia
Zobrazenie f : V → W je lineárne, ak zachováva obe operácie: f(u + v) = f(u) + f(v) a f(c · u) = c · f(u) pre všetky u, v a skaláry c.
Z definície hneď plynie f(0) = 0. Každé lineárne zobrazenie ℝⁿ → ℝᵐ sa dá zapísať ako násobenie maticou f(x) = A · x, kde stĺpce A sú obrazy bázových vektorov.
Matica zobrazenia
Stĺpce A sú f(e₁), …, f(eₙ). Potom f(x) = A·x pre každé x.
Jadro (Ker)
Ker f = { x : f(x) = 0 } — podpriestor v V. Zobrazenie je injektívne ⇔ Ker f = {0}.
Obraz (Im)
Im f = { f(x) : x ∈ V } — podpriestor vo W. Jeho dimenzia je hodnosť zobrazenia.
f(x,y) = (x+y, x−y) je lineárne; rotácia aj projekcia sú lineárne. Naopak f(x) = x + 1 lineárne nie je — posun počiatku, lebo f(0) = 1 ≠ 0.
Pre lineárne f : V → W platí dim(Ker f) + dim(Im f) = dim V. Toto je veta o hodnosti a defekte.
Vyber správnu odpoveď.
Záverečný kvíz
Desať otázok cez celú tému — od axióm vektorového priestoru po jadro a obraz lineárneho zobrazenia.
Otestuj sa cez celú tému.